بعض الدروس و التمارين في الرياضيات 4 متوسط

إعداد: مصطفى عبد الهادي
تحليل عبارة جبرية
معرفة1:تحليل عبارة جبرية على شكل مجموع أو فرق يعني كتابتها على شكل جداء.
التحليل باستعمال العامل المشترك
بصفة عامة:
k a + k b k (a + b)
جداء مجموع
k a – k b k (a – b)
جداء فــــرق
عامل مشترك. K يسمى
مثال:حلّل العبارات الأتية:
A= 6 x + 18 ;
B= 5 x 2 – 15 x ;
C (3 x – 1) (x – – (2 x + 4) (x – .



من الإشارة-:C حذار في
تطبيقات:
ت1: ضع العدد الموجود بين قوسين كعامل مشترك
لكل عبارة مما يأتي:
.
.
.
.

ت 2:حلّل العبارات الاتية

ت3: حلّل العبارات الأتية:
ت4:حلّل العبارات الأتية:


تعرف على العامل المشترك العامل
E= (x + 1) (x + 7) – (x + 7) ;
f= (2 x – 5) 2 – (2 x – 5) (x + 2) ;
G=2 x + 1 + 5 x (2 x + 1) – 3 x (2 x +1)  ;
H= (x – 2 + (x – .
ت5: حلّل ثم أحسب ذهنيا كما في المثال الأتي:
12 23 – 231 X 23 (12 – 11)X231 X 23
A = (151 X 47 + (151 X 53 ; B= (13 X 2,3) + (5,7 X 13 );
C =(32 X 23,5) – (3,5 32) ; D = (17 X 47) – (37 X17)
 E=( 21 X 3,4) +( 21 X 5,4) – (0,8 X 21).

التحليل با ستعمال المتطابقات الشهيرة
معرفة2: بجب حفظ المتطابقات الشهيرة الأتية:
a 2 + 2 a b + b 2 (a + b) 2
a 2 – 2 a b + b 2 (a – b) 2
a 2 – b 2 (a + b) (a – b)
لتحليل عبارة جبرية لاتشمل عاملا مشترك
مثال:حلّل العبارات الأتية:
A x 2 + 6 x + 9 ; B x 2 – 36 ; C= 4 x 2 – 20 x + 25 .








حذار من الأقـوا س
4 x 2 (2 x) 2 !






تطبيقات

ت1: حلّل العبارات الأتية:
D x 2 – 8 x + 16 ;
E 9 x 2 + 6 x + 1 ;

F 16 x 2 – 9.
مساعدة
D x 2 – 8 x + 16 … 2 – … x … + … 2 (x – …) 2 ;
E 9 x 2 + 6 x + 1 (…x) 2 + 2 3… … + 1 2 (…x + …) 2 ;
F 16 x 2 – 9 (…x) 2 – … 2 (…x + …) (…x – …).

ت2 : حلّل العبارات الأتية:
A x 2 + 2 x + 1 ;
B x 2 – 6 x + 9 ;
C x 2 – 81  ;

D x 2 + 18 x + 81 ;

E x 2 + 8 x + 16 ;

F x 2 – 9 ;

G 64 – x 2 ;

H x 2 – 10 x + 25.

ت3:حلّل العبارات الأتية:
A 4 x 2 – 4 x + 1 ;
B 9 x 2 + 54 x + 81 ;
C 25 x 2 – 16 ;

D 4 x 2 – 28 x + 49 ;

E 36 x 2 + 36 x + 9 ;

F 36 x 2 – 9 ;

G 9 x.2 – 81 ;

H 9 x 2 – 12 x + 4.

ت3:حلّل العبارات الأتية كما في الم
ثال الأتي:
A = (x + 2) 2 – 16 (x + 2) 2 – 4 2 [(x + 2) – 4] [(x + 2) + 4] (x – 2) (x + 6).

في هذا التمرين نستعمل
a 2 – b 2 !
B (3 x – 4) 2 – 49 ;

C (x + 1) 2 – 9 ;

D (2 x – 1) 2 – 100 ;

E 36 – (x – 6) 2 ;

F (x – 1) 2 – (x + 3) 2 ;

G (3 x – 7) 2 – (8 x + 2.

ت4:تمثل الكتابةالأتية إجابة التلميذ عبدالرحمان على ورقة الإمتحان:
، هل إجابة عبدالرحمان صحيحة؟علّل.


تمارين
تمرين1:حلّل العبارات الأتية:


A = 4x² + 4x + 1 - (2x + 1)(3x – 2)
B = (3x – 2)(x + 5) + 9x² - 4
C = 2x + 4 - (x + 2)(x – 5)
D = 8x – 20 + 4x² - 25
E = 2x – 6 – (x – 3)(x – 1)
F = 4x² - 9 + (8x + 12)(x – 3)
G = x² + 6x + 9 - (5x + 15)(x – 7) H = 25x² - 9 + (10x – 6)(2x + 1)
I = 9x² + 6x + 1 – (3x + 1)(x + 2)
J = 9x² - 9 + (x + 1)(2x – 7)
K = 18x² - 2 + (6x – 2)(2x – 5)
L = x² - 10x + 25 – (x – 5)(2x + 3)
M = (3x + 3)(2x + 6) – (x + 1)²(x + 3)
N = 2x – 8 + (x – 4)(2x + 3)


تمرين2:حلّل العبارات الأتية إن أمكن ذلك باستخدام إحدى المتطابقات الشهيرة:


81x² - 18x + 4 = ………………
4x² - 81 = …………….
25x² + 60x + 36 = ……………..
x² - 22x + 121 = ………………
9x² - 49 = ……………………
64 – 16x + x² = ………………..
16x² + 48x + 9 = ……………… h) 64x² - 9 =
x² + 4xy + 4y² =
x4 – 81 =
16x² - 25 =
100 - x² =
4x² - 9 =
36x² - 25 =






تذكير:
اليك المعادلة المعادلة.
هوالطرف الأول لهذه المعادلة.
هوالطرف الثاني لهذه المعادلة .
المعادلات




حلول معادلة:
التي تحقق المعادلة؟ يعني إيجاد قيم المجهول حلول المعادلة
1) تغيير كتابة معادلة دون تغيير حلولها:
*إذا أضفنا (أو طرحنا) نفس العدد إلى طرفي معادلة فإنه لا تتغير حلول هذه المعادلة*.
نضيف 3 إلى طرفيها مثال:لدينا:
نحصل على المعادلة:
وإذا طرحنا 5 من طرفي المعادلة نحصل على المعادلة:
لها نفس الحلول . و المعادلات:
نقول إن المعادلات:
متكافئة أي لها نفس الحلول . و
*إذاضربنا أو قسمنا طرفي معادلة في نفس العدد(على نفس العدد غير المعدوم)فإنه لاتتغيرحلولها*.
مثال:إليك المعادلة: ،نضرب طرفيها في العدد 3
نحصل على المعادلة:
وإذا قسمنا طرفي المعادلة على2 نحصل على المعادلة:.
2) مبدأ حل معادلة:
* لحل معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد،نستبدل هذه المعادلة بمعادلة
أبسط منها وتكافؤها(لها نفس الحلول)ونستعمل طريقة نقل الحدود مع تغيير الإشارات*.
مثال:حل المعادلة:
خط1:ننقل المجهول في طرف و المعلوم في الطرف الأخر:
خط2:نبسط طرفي المعادلة: فنحصل على:
خط3:نقسم طرفي المعادلة: على العدد 2 نحصل على:
إذن 3- هو حل لهذه المعادلة.


معادلة جداء معدوم:
*نسمي معادلة جداء معدوم كل معادلة مكتوبة على شكل جداء عوامل يساوي 0.*
مثال: المعادلة: هي معادلة جداء معدوم.
نظرية:
** إذاكان ab=0 معناه: a=0 أو b=0.**
*تمكننا هذه النظرية من تحويل معادلة جداء إلى معادلتين من الدرجة الأولى.*
ab=0
معناه:
a=0أوb=0

b

كما يوضح المخطط الأتي:

=0 b x a


مثال: حل المعادلة:
لدينا:يعني أن:
ومنه: ومنه:
إذن :2- و هما حلان لهذه المعادلة.


طرائق حل معادلات:
مثال: لنحل المعادلات الثلاث:















* إذن 1 و 9-هما حلان لهذه المعادلة.













إذن 0 هو حل لهذه المعادلة.









إذن هو حل لهذه المعادلة.
حوّلنا المعادلة إلى معادلة طرفها الثاني
يساوي الصفر، ثم فمنا بتحليل الطرف
الأول للحصول على معادلة جداء معدوم قمنا بالنشر و التبسيط
السؤال الذي يطرح نفسه بالنسبة لتلميذ سنة الرابعة متوسط في هذه الحالة .كيف أحل معادلة من هذا النوع(من الدرجة2 أو أكثر)؟.
F(x)=0وضع المعادلة بالشكل:

F(x)=0

hg

هل أقو م بالنشر؟ ،هل أقوم بالتحليل؟......إليك المخطط الأتي يوضح لك الإختيار الصحيح:
F(x)نبحث في تحليل


يمكن التبسيط
لايمكن التبسيط
F(x)نقوم بنشر
نقوم بحل معادلة من الشكل:
Axb=0
لا يمكن التحليل
يمكن التحليل
؟
قمت بخطأ في النشر
النشرصحيح
ax+b=0حل معادلة:
راجع النشر


تمارين
تمرين1:
حل المعادلات الأتية:
a) 7 x 13 ; b) x – 3 12 ; c) – 5 ;
d) 3 x + 10 28 ; e) 7 – 4 x 11 ; f) 9 2 x + 7.

تمرين 2:
حل المعادلات الأتية:
a) 4 x + 7 2 x + 13 ; b) x – 2 10 + 5 x ;
c) – 3 x – 8 – 7 x – 4 ; d) 2 t + 5 5 t + 12 ;

e) 7 x – 6 6 x + 3، f) 15 x 7 x + 4.

تمرين3:
حل المعاذلات الأتية:
a) x + (2 x – 3) + (x – 7) 12 ;
b) 4 (5 x – 7) 32 ;
عليك أحيانا
بالنشر و التبسيط
c) 5 (x + 1) – 3 (x – 2) 48 ;

d) 3 (2 x – 1) – 5 x 3 x – 1 ;

e) 2 (x – 3) + 3 (x – 1) 2 x – 3 ;

f) 5 x – 2 (3 x + 1) 3 (x + 3) – 4 (2 x + 3) ;
g) 8 – 7 (x – 1) + 3 (2 x + 3) – 4 x.



تمرين 4:حل المعادلات الأتية:
(x + 2) (x – 5) 0 ;
(x – 3) (– 2 x + 3) =0 ;

2 x (3 x – 4) 0 ;

(9 – 5 x) (3 x + 2) 0 ;

(2 x – 7) 2 0.

4 x 2 – 2 x 0 ;
(3 x – 5) (x + 1) – (3 x – 5) (2 x – 3) 0 ;

(5 x + 7) (2 x + 3) – (5 x + 7) 2 0 ;

9 x 2 – 25 0.
تمرين 5:حل المعادلات الأتية:



x 2 + 12 x + 36 = (2 x – 3) (x + 6) .

9 x 2 – 12 x = - 4
(2 x – 1) 2 = 100 ;

36 = (x – 6) 2 ;

(3 x – 7) 2 = (8 x + 2
. (3 x + (2 x + 3) = (3 x + 2

ترييض مشكل
حل مسألة تؤول إلى حل معادلة:
** لحل مسألة عن طريق حل معادلة يجب إتباع الخطوات الأتية:
-وضع أو اختيار المجهول المناسب للسؤال.
- وضع المعادلة الملائمة لمعطيات المسألة.
- حل المعادلة.
- التحقق من الحل ثم التصريح بالإجابة عن السؤال المطروح.**
مثال:
اشترى محمد 3كتب و4 أقراص مضغوطة فدفع للتاجر 1060DA . إذاعلمت أن سعر الكتاب يزيد عن سعر القرص
بـــ:50DA فماهو سعر القرص المضغوط